Diatomic Spectral Database

LaTeX version of Equations

intro
$ Y_{01} \cong B_{\rm e} ({\rm MHz}) = 
         {\displaystyle \frac{505\,379.006 (51)} 
       {\mu_{\rm r} r_{\rm e}^2 ({\rm u}\, \mbox{\AA}^2)}} ~ . $


eq01
$ \Delta J = + 1 ~ , \quad \Delta F = 0, \pm 1 ~ , \quad 
  {\rm and} \quad \Delta v = 0 \quad . $


eq02
$ W_{v,J} = \Sigma_{l,j}\left(v + \frac{1}{2}\right)^l J^j 
   \left(J + 1\right)^j \quad , $


eq03
\begin{eqnarray*} Y_{10} &\cong&\omega_{\rm e} \propto ~ 1/\mu_{\rm r}^{1/2}\\
   Y_{20} &\cong& - \omega_{\rm e} x_{\rm e} \propto ~ 1/\mu_{\rm r} \\
   Y_{30} &\cong& \omega_{\rm e} y_{\rm e} \propto ~ 1/\mu_{\rm r}^{3/2} \\
   Y_{40} &\cong& \omega_{\rm e} z_{\rm e} \propto ~ 1/\mu_{\rm r}^2 \end{eqnarray*}  


eq04
\begin{eqnarray*} Y_{01} &\cong& B_{\rm e} \propto ~ 1/\mu_{\rm r} \\
   Y_{11} &\cong& - \alpha_{\rm e} \propto ~ 1/\mu_{\rm r}^{3/2} \\
   Y_{21} &\cong& \gamma_{\rm e} \propto ~ 1/\mu_{\rm r}^2 \\
   Y_{02} &\cong& -D_{\rm e} \propto ~ 1/\mu_{\rm r}^2 \\
   Y_{12} &\cong& - \beta_{\rm e} \propto ~ 1/\mu_{\rm r}^{5/2} \\
   Y_{03} &\cong& - H_{\rm e} \propto ~ 1/\mu_{\rm r}^3 \end{eqnarray*}  

 
eq05
$ \mu_{\rm r} ~=~ \frac{M_1M_2}{M_1 + M_2} $ 

 
eq06
\begin{eqnarray*} \nu_{v,J^\prime\leftarrow J^{\prime\prime}} &=& 
   2[Y_{01} + Y_{11}(v+{\textstyle\frac{1}{2}} ) + 
   Y_{21}(v+{\textstyle\frac{1}{2}} )^2 + ...] J^\prime \\
  &~&+ 4[Y_{02} + Y_{12}(v+{\textstyle\frac{1}{2}} ) + ...] (J^\prime)^3 \\                            
  &~&+ [Y_{03} + Y_{13}(v+{\textstyle\frac{1}{2}} ) + ...] [6(J^\prime)^5 
   + 2(J^\prime)^3] \end{eqnarray*} 


eq07
$ \nu_{v,J^\prime\leftarrow J^{\prime\prime}} = 2B_v J^\prime - 
    4D_v (J^\prime)^3 + H_v[6 (J^\prime)^5 + 2(J^\prime)^3] $ 
                
eq08
\begin{eqnarray*}
B_v&=&B_{\rm e} - \alpha_{\rm e}(v+{\textstyle\frac{1}{2}} ) + 
   \gamma_{\rm e}(v+{\textstyle\frac{1}{2}} )^2 ~ ... \\
D_v&=&D_{\rm e} - \beta_{\rm e}(v+{\textstyle\frac{1}{2}} ) ~ ... \\
H_v&=&H_{\rm e} ~ ... ~ . 
\end{eqnarray*} 

  
eq09
$ W_{hfs} = -eQq_v f(I, J, F) + (c/2) [F(F+1) - I(I+1) - J(J+1)] $ 

  
eq09a
$F = J + I, ~ J + I - 1, ~ ... ~ |J - 1| ~ .$

  
eq10
\begin{eqnarray*}
B&=&B_{\rm e}(1 - 2\zeta + 3\zeta^2 + ...)  ~ ,\\
\lambda&=&\lambda_{\rm e} + \lambda_{(1)} \zeta + \lambda_{(2)} \zeta^2 + ... ~ ,\\
\gamma&=&\gamma_{\rm e} + \gamma_{(1)} \zeta + ... ~ ,
\end{eqnarray*} 

  
eq10a

\begin{eqnarray*}
B&=&B_{\rm e}(1 - 2\zeta + 3\zeta^3 + ...)  ~ ,\\
A&=&A_{\rm e} + A_{(1)} \zeta + A_{(2)} \zeta^2 + ... ~ ,\\
\gamma&=&\gamma_{\rm e} + \gamma_{(1)} \zeta + ... ~ ,
\end{eqnarray*} 

 
 
$ \zeta = {\displaystyle \frac{r-r_{\rm e}}{r_{\rm e}}} $ 

 
eq11
\begin{eqnarray*}
B_v&=&Y_{01} + Y_{11}(v + 1/2) + Y_{21}(v + 1/2)^2 +  ... ~ ,\\
\lambda_v&=&\lambda_{\rm e} + (2/3)~ {\displaystyle \frac{B_{\rm e}^3}{\omega_{\rm e}^2}}~
    \lambda_{(1)}^2 - \alpha_\lambda ( v + 1/2) + ... ~ , \\
\gamma_v&=&\gamma_{\rm e} - \alpha_\gamma(v + 1/2) + ... ~ ,
\end{eqnarray*} 


eq12
$ \alpha_\gamma = {\displaystyle \frac{B_{\rm e}}{\omega_{\rm e}}}~ 
    a_1\gamma_{(1)} + ... ~ , $ 


eq13
$$ \alpha_\lambda = {\displaystyle \frac{B_{\rm e}}{\omega_{\rm e}}}~ 
    \left(3a_1\lambda_{(1)} - 2\lambda_{(2)} - {\displaystyle 
    4/3 ~ \frac{B_{\rm e}}{\omega_{\rm e}^2}}~ \lambda_{(2)}^2 + ... \right) ~ .$$  


eq14
$ D_v = Y_{02} + Y_{12} ( v+ 1/2) + ... ~ ,$ 


eq15
$$ \rho_v = 4 \left({\displaystyle \frac{B_{\rm e}^2}{\omega_{\rm e}^2}}\right)~ 
    \lambda_{(1)} - 12 \left({\displaystyle \frac{B_{\rm e}^3}{\omega_{\rm e}^2}}\right)~ 
    \lambda_{(2)} (v + 1/2) + ... ~ ,$$  


eq16
$ \delta_v = 4 \left({\displaystyle \frac{B_{\rm e}^2}{\omega_{\rm e}^2}}\right)~
              \gamma_{(1)} + ... ~ .$ 


eq17
\begin{eqnarray*} W_{(N=J)} = [B_v - D_v J(J+1)]~ 
     J(J+1)&-&[\gamma_v + \delta_v J(J+1)] \\
           &+&(2/3) [\lambda_v + \rho_v J(J+1)]\end{eqnarray*} 


eq18
\begin{eqnarray*} W_{(N=J\pm 1)} &=& B_v(J^2+J+1) - D_v(J^4+2J^3+7J^2+6J+2) \\
     &~&- \frac{3}{2} \gamma_v - \frac{1}{2} \delta_v(7J^2+7J+4) 
        - \frac{1}{3} \lambda_v - \frac{1}{3} \rho_v(J^2+J+4) \\
     &~&\pm \left[ \left\{ (2J+1) \left( B_v - 2D_v (J^2+J+1) - \frac{1}{2} 
        \delta_v (J^2+J+4) - \frac{1}{2} \gamma_v \right) \right.\right. \\
     &~& \left.\left. - \frac{3\lambda_v + 
         \rho_v(7J^2+7J+4)}{3(2J+1)} \right\}^2 + 4J(J+1) 
         \left(\frac{\lambda_v + \rho_v(J^2+J+1)}{2J+1}\right)^2\right]^{1/2}
         \end{eqnarray*} 


eq19a
 $$ b = - \mu_{\rm B}g_{\rm N}\mu_{\rm N} ~\left\langle 
           \frac{3\cos^2\chi-1}{r^3} \right\rangle + \frac{16}{3} ~ 
           \pi\mu_{\rm B}g_{\rm N}\mu_{\rm N} \Psi^2(0) $$ 


eq19b
 $$ c = 3\mu_{\rm B}g_{\rm N}\mu_{\rm N} ~\left\langle 
           \frac{3\cos^2\chi-1}{r^3}\right\rangle $$ 


eq20
\begin{eqnarray*} {\cal H}&=&B(\mbox{\bf J}^2 - L_z^2 +\mbox{\bf S}^2) 
            + AL_zS_z - 2B\mbox{\bf J}\cdot\mbox{\bf S} \\
             &~&+(B+A/2) (L_+S_- + L_-S_+) - B(J_+L_- + J_-L_+) + 
             \gamma(\mbox{\bf J-S})\cdot\mbox{\bf S} \end{eqnarray*}

  
eq20a
\begin{eqnarray*}
B&=&B_{\rm e}(1 - 2\zeta + 3\zeta^3 + ...)  ~ ,\\
A&=&A_{\rm e} + A_{(1)} \zeta + A_{(2)} \zeta^2 + ... ~ ,\\
\gamma&=&\gamma_{\rm e} + \gamma_{(1)} \zeta + ... ~ ,
\end{eqnarray*}
             

eq21
$ \alpha_p = 4\Sigma(-1)^S {\displaystyle ~ \frac 
           {\langle \Pi|\, (A+2B) L_y\, |\Sigma\rangle\,\langle\Sigma|\,
           BL_y\, |\Pi\rangle} {E_\Sigma - E_\Pi}} $ 


eq22
$ \beta_p = \Sigma(-1)^S {\displaystyle ~ \frac 
           {| \langle\Pi|\, BL_y\, |\Sigma\rangle |^2} {E_\Sigma - E_\Pi}} $ 


eq23
 $ a = 2\mu_{\rm B} g_{\rm N}\mu_{\rm N} \langle 1/r^3\rangle $ 


eq24
$$ b = - \mu_{\rm B}g_{\rm N}\mu_{\rm N} ~\left\langle
            \frac{3\cos^2\chi-1}{r^3} \right\rangle + \frac{16}{3} ~ 
            \pi \mu_{\rm B} g_{\rm N}\mu_{\rm N} ~ \mid\psi(0)\mid^2 $ 


eq25
$ c = 3\mu_{\rm B}g_{\rm N}\mu_{\rm N} ~\left\langle
           {\displaystyle \frac{3\cos^2\chi-1}{r^3}}\right\rangle $ 


eq26
$ d = 3\mu_{\rm B}g_{\rm N}\mu_{\rm N} ~\left\langle
           {\displaystyle \frac{\sin^2\chi}{r^3}}\right\rangle ~ .$ 


eq27
$ Y_{01} = B_{\rm e} + \left({\displaystyle \frac{B_{\rm e}^3}{4\omega_{\rm e}^2}}\right) 
          \left[30+28a_1 +21\left(a_1^2 + a_1^3\right) 
          - 18a_2 - 46a_1a_2 + 30a_3 \right] $     


eq28
$ r_{\rm e} = \left( {\displaystyle \frac{h}{8\pi^2 \mu_{\rm r} B_{\rm e}}} \right)^{1/2} $     


Back to the Diatomic Spectral Database Main Page